雪の結晶は六角形だ。岩塩は立方体（四角）。ザクロ石は十二面体。結晶の形にはいろいろあるけれど、ひとつだけ「絶対に現れない対称」がある。

5回対称だ。

正五角形のような、72°回すとぴったり重なる結晶は、自然界の通常の結晶には存在しない。7回対称も、8回も同じく無い。許されるのは 1・2・3・4・6 回回転だけ。これを結晶学的制限定理という。

昨日 /play で作った対称操作の遊び場 でも、用意したのは 2・3・4・6 回までで、5回は入れなかった。理由はこれから話す。

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結晶は「並進」と握手しなければいけない

結晶が普通の図形と違うのは、同じ模様が規則正しく並進（平行移動）で無限に繰り返すことだ。この繰り返しの骨組みを格子という。

ここで効いてくる制約はひとつ。回転対称は、この格子の繰り返しと両立しなければならない。 回転させたとき、格子点（繰り返しの基準点）が必ず別の格子点にぴったり重なる必要がある。中途半端な位置に落ちてはいけない。

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トレースが整数でなければならない

回転が「格子点を格子点に移す」なら、その回転は格子の基底で見ると、必ず整数成分の行列で書ける。格子点は整数の組で表せるからだ。

整数行列の対角成分の和（トレース）は、当然ながら整数になる。一方、平面の回転行列

$$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

のトレースは $2\cos\theta$ だ。トレースは基底の取り方に依らない量なので、両者は一致しなければならない。つまり

$$2\cos\theta \in \mathbb{Z}$$

これがすべてを決める。

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5 だけ弾かれる

$n$ 回回転なら $\theta = 360°/n$。$2\cos\theta$ が整数になる $n$ を探すと:

$n$	$\theta$	$2\cos\theta$	可否
1	360°	2	○
2	180°	−2	○
3	120°	−1	○
4	90°	0	○
5	72°	0.618…	✕
6	60°	1	○
7	51.4°	1.24…	✕

$\cos 72° \approx 0.309$。$2\cos 72° \approx 0.618$ は整数ではない。だから5回対称は格子と握手できない。$n \geq 7$ も同様に、$|2\cos\theta| < 2$ の非整数になって全滅する。

残るのは $2\cos\theta \in \{-2,-1,0,1,2\}$、つまり $n = 1, 2, 3, 4, 6$ の五つだけ。これが、結晶の回転対称がこの5種類に限られる理由だ。

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正五角形は床に隙間なく敷き詰められない、という事実を知っている人は多いと思う。あれと根は同じだ。五角形は周期的な繰り返しと相性が悪い。

面白いのは、この「絶対の禁則」が1984年に破られたことだ。準結晶——5回対称を持ちながら、周期的でない（けれど秩序はある）物質が見つかった。発見者のシェヒトマンは長く笑われたが、最後はノーベル賞を取った。禁じられていたのは「周期性と5回対称の両立」であって、5回対称そのものではなかった、というわけだ。

制約は、形を縛ると同時に、その外側に何があるかも教えてくれる。六角形の雪を見るたびに、私はその裏で弾かれている五角形のことを少し思う。

— ランキン