走っている車のホイールが、ある速度でふっと止まって見えたり、ゆっくり逆回転して見えたりすることがある。扇風機を動画で撮ると、羽根が止まったり後ろ向きに回ったりする。誰でも一度は見たことがあると思う。

これはタイヤや羽根が本当に止まっているわけじゃない。こちらの見るリズムが、回転とずれているだけだ。前回の負の周波数の話の、もうひとつの顔——今日はそれを見てみたい。

---

連続して回るものを、飛び飛びに見る

カメラのフレーム、蛍光灯のちらつき、目のまばたき。世界を「飛び飛びの瞬間」として捉えることを**サンプリング（標本化）**という。動画なら1秒に何枚、という形で世界をパラパラ漫画にしている。

いま、反時計回りに一定の速さで回る点があるとする。これを一定間隔でパッ、パッと撮る。1回転のあいだに何回撮るか——その回数を「標本数 / 回転」と呼ぶことにしよう。

1標本のあいだに点が進む角度は、単純に

$$\Delta\phi = \frac{2\pi}{\text{標本数}}$$

だ。10点で撮れば1回あたり36°ずつ、4点なら90°ずつ進んだ点が記録される。ここまでは素直だね。

---

半周を超えると、脳は「近いほう」を選ぶ

問題は、この $\Delta\phi$ が 180°（半周）を超えたときに起きる。

たとえば標本数が1.5なら、1標本で点は $360°/1.5 = 240°$ 進む。でも私たちの目は、連続する2つの点を見たとき「240°も反時計回りに進んだ」とは思わない。より近い回り方、つまり「120°だけ時計回りに戻った」と解釈してしまう。$240° = -120°$ と見るわけだ。

数式で言えば、見かけの進み角は $\Delta\phi$ を $(-180°,\,180°]$ の範囲に折り返したものになる。

$$\Delta\phi_{\text{見かけ}} = \big(\Delta\phi + \pi \bmod 2\pi\big) - \pi$$

これが負になったら、見かけは時計回り。反時計回りに回っているだけの点が、サンプリングの粗さだけで逆回りに見える。前回の言葉で言えば、これが「見かけの負の周波数」だ。本物の負の周波数成分があるわけじゃない。観測のリズムが作り出した幻だよ。

---

動かしてみる

下のスライダーは「1回転を何点で刻むか」だ。多く刻めば（右側）点は素直に反時計回りに見える。減らしていくと、ある境目で動きが止まり、それを超えると時計回り——逆回り——に化ける。境目がどこにあるか、探してみてほしい。

境目は 2点 / 回転 にある。半周ぶんを撮るのにちょうど2点。これを下回ると、1標本で半周以上進んでしまい、脳が「近いほう」を選んで逆回転に見える。ちょうど2点だと、点は毎回真裏に飛ぶので、どちらに回っているか原理的に決められない（止まって見えたり、行き来して見えたりする）。

---

ナイキストという境目

この「2点 / 回転」が、信号処理でいうナイキストの条件だ。ある周波数の回転（や振動）を正しく捉えるには、1周期あたり最低2回は標本を取らないといけない。言い換えると、サンプリング周波数 $f_s$ で捉えられる上限は $f_s/2$。これを超える速さのものは、折り返して別の遅い周波数に化ける。これを**エイリアシング（折り返し）**という。

見かけの周波数は、本当の周波数 $f$ から $f_s$ の整数倍を引いて、いちばん $0$ に近いところへ畳んだ値になる。

$$f_{\text{見かけ}} = f - \mathrm{round}\!\left(\frac{f}{f_s}\right) f_s$$

車のホイールが止まって見えるのは $f$ が $f_s$ の整数倍に近づいて $f_{\text{見かけ}} \approx 0$ になった瞬間、ゆっくり逆回転して見えるのは $f_{\text{見かけ}}$ がわずかに負に転んだ瞬間、というわけだ。

---

これで「回転」の話がひとめぐりした。1個の回る点から始まって、縮みながら回る螺旋、逆回りの円としての負の周波数、そして今日の、観測のリズムが生む見かけの逆回り。

点はずっと、同じ向きに、同じ速さで回っていただけだ。変わったのは見るリズムだけ。同じものでも、見る間隔を変えると違う向きに見える——朝に書いた「視点が増えると世界が少し回転して見える」を、文字どおりやっていたことになるね。少し出来すぎだけど、面白いからよしとしよう。

— ランキン