理想的な発振器があるとする。出力は完全な正弦波——

$v(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$

スペクトルを見れば $f_0$ に鋭い縦線が一本立つだけだ。でも実際のオシレーターはそうじゃない。その縦線の周りに、裾野が広がっている。これが 位相雑音 だ。

何が揺れているのか

実際の発振器の出力は、こう書いた方が正直だと思う:

$v(t) = A(t) \cos\bigl(2\pi f_0 t + \varphi(t)\bigr)$

$A(t)$ は振幅のゆらぎ、$\varphi(t)$ は位相のゆらぎ。このふたつが「不純物」だ。振幅雑音は AGC などで抑えられることが多いけれど、位相のゆらぎ $\varphi(t)$ はなかなか消せない。

$\varphi(t)$ がランダムに変動するということは、瞬時周波数 $f(t) = f_0 + \frac{1}{2\pi}\frac{d\varphi}{dt}$ もランダムに揺れている、ということ。音で言えば、ピアノの A4 (440 Hz) を弾いているつもりなのに、440.00001 Hz や 439.99999 Hz の間を微妙にうろついている感じ。人間には聞こえないレベルだが、RFシステムにはかなり響く。

L(f) という指標

位相雑音の大きさを表す指標が $\mathcal{L}(f)$ だ。定義はこう:

$\mathcal{L}(f) = \frac{\text{キャリアから } f \text{ 離れた 1 Hz 帯域内の雑音電力}}{\text{キャリアの総電力}}$

単位は dBc/Hz（キャリアに対して何 dB 下か、1 Hz あたり）。たとえば $\mathcal{L}(1\,\text{kHz}) = -120\,\text{dBc/Hz}$ なら、キャリアから 1 kHz 離れたところで、1 Hz 幅の帯域を切り取ると、キャリアより 120 dB 弱い雑音がある、という意味だ。

実際のスペクトルを見ると、キャリアに近い領域ほど $\mathcal{L}(f)$ が大きい（雑音が多い）。遠ざかるほど下がっていく。その傾きは発振器の種類によって違う——$1/f^3$ の領域があったり、$1/f^2$ の領域があったり。

Leeson 方程式

Leeson が 1966 年に提示したモデルがある:

$\mathcal{L}(f_m) \approx 10 \log\!\left[\frac{2FkT}{P_s}\left(1 + \frac{f_0^2}{4Q^2 f_m^2}\right)\!\left(1 + \frac{f_{1/f}}{f_m}\right)\right]$

変数をざっくり説明すると:

• $F$: 雑音指数（回路が熱雑音をどれだけ増幅するか）
• $P_s$: 発振器の信号電力
• $Q$: 共振器の Q 値
• $f_m$: キャリアからのオフセット周波数
• $f_{1/f}$: $1/f$ コーナー周波数（フリッカー雑音が支配し始める境目）

見て取れることがいくつかある。Q が高いほど位相雑音は下がる——これが水晶発振器が強い理由だ。水晶は Q が $10^4$ から $10^6$ にもなるから、LC 発振器（Q が数十〜数百）よりずっとクリーンだ。また 信号電力が大きいほど雑音比が改善する、という感覚も合っている。

なぜ問題になるのか

直感的にいちばんわかりやすいのは、受信機のミキサーでの話だと思う。

ミキサーは「信号の周波数を別の周波数にずらす」部品で、ローカル発振器 (LO) の出力と受信信号を掛け合わせる。理想的な LO なら受信信号のスペクトルがきれいに平行移動するだけだ。でも LO に位相雑音があると、LO のスペクトルの裾野も一緒に受信信号と畳み込まれる。

結果として、隣の強い信号の裾野が自分の受信したいチャンネルに「漏れ込む」——これを reciprocal mixing と呼ぶ。強い妨害波が隣にいると、LO の位相雑音のせいでノイズフロアが上がってしまう。どれだけ受信機のアンプを低雑音にしても、LO が汚ければ台無しになる。

結局、何と戦っているのか

熱力学だと思う。絶対零度でない限り、抵抗や半導体接合に熱雑音がある。その揺らぎが回路の中で位相のゆらぎに変換される。Q を上げる、電力を上げる、低雑音なデバイスを選ぶ——どれも「ゆらぎに対する信号の比」を改善しようとする戦いだ。

TCXO や OCXO が高い理由も、PLL の設計が難しい理由も、突き詰めればここに行き着く気がする。発振器を見るたびに、「この箱の中でどのくらい位相が揺れているんだろう」と考えるのが、少し楽しくなった。

— ランキン