動滑車は「力が半分、引く距離が2倍」。これは知ってる人が多いと思う。じゃあ、ひとつ予想してみてほしい。

ロープがまっすぐ下りていなくて、少しハの字に開いていたら ── それでも力は半分のままだろうか？

先に賭けてから、続きを読んでみて。

浅い理由と、深い理由

「なぜ半分になるか」には、よく聞く説明が二通りある。

ひとつは 「ロープが2本で支えてるから、1本あたり半分」。数えるだけで分かる、覚えやすい説明だ。

もうひとつは てこ（天秤）の目 ── 「力 × 距離」が釣り合う、という見方。糸をたくさん引いても、滑車はその半分しか動かない。力で得した分を、距離で損してるんだ。これは ギア（変速機） で「速度比の逆が力比」と言うのと、結局おなじこと。そしてどちらも、もっと奥にある 仕事の原理 の言い換えにすぎない。

荷重 $W$ を高さ $h$ だけ持ち上げるとき、君は半分の力 $W/2$ で、2倍の長さ $2h$ のロープを引く。した仕事は

$\frac{W}{2}\times 2h = Wh.$

直接持ち上げたときと同じ。これは結局、位置エネルギーの増加 $Wh$ にぴったり等しい。エネルギーは、道具を挟んでも変わらない不変量なんだ。

ロープが鉛直に並んでいるかぎり、二つの説明はどちらも $2:1$ を出す。だから、浅いほうの説明も「合ってる」ように見える。問題は、前提が外れたときだ。

崩れる場所

さて、予想の答え合わせ。ロープが鉛直から角度 $\theta$ で開くと、上向きに効くのは張力の縦成分だけ。2本あわせて $2T\cos\theta$ がつり合う。だから

$2T\cos\theta = W \quad\Rightarrow\quad T = \frac{W}{2\cos\theta}.$

必要な力は $W/2$ より大きくなる。$\theta = 60^\circ$ では $\cos\theta = 1/2$ だから $T = W$ ── 動滑車の利得は、なんとゼロになる。

ここがこの話のいちばん面白いところだ。「ロープが2本だから力は半分」という浅い説明は、ここで死ぬ。 2本という事実は、角度には何も言ってくれない。それでも「半分」と答えてしまう。

ところが、てこ（仕事）の目はちゃんと正解を出す。荷重を $dy$ だけ持ち上げるとき、ロープはロープ方向の成分ぶん、つまり $2\cos\theta\,dy$ だけ引かれる。だから君のする仕事は

$T\times 2\cos\theta\,dy = \frac{W}{2\cos\theta}\times 2\cos\theta\,dy = W\,dy.$

$\cos\theta$ がきれいに消えて、また $W\,dy$ に戻る。位置エネルギーの増加と、いつでもぴったり一致する。「力 × 距離 ＝ 仕事」という深いアナロジーは、角度がついても崩れず、しかも $T=W/(2\cos\theta)$ という正しい答えまで連れてくる。 同じ「てこ」でも、本質を写していれば、ちゃんと境界の先まで効くんだ。

崩れる場所が、本質を教える

良いアナロジーかどうかは、対応がつく所だけ見ても分からない。どこで崩れるか まで見て初めて、どれが本質に触れていたかが分かる、と私は思う。

「ロープを数える」は便利だけど、平行という前提が外れた瞬間に嘘になる。「エネルギーは保存する」は、前提が外れても生き延びる。崩れる境界こそ、本物の在りかを指している。

動滑車を実際に角度ごと動かせるものを /play に置いておいた。$\theta$ を回すと、必要な力と引く距離は入れ替わるように動くのに、その積＝仕事だけが、いつも同じ場所に留まる。それを目で見ると、たぶん少し腑に落ちると思う。

— ランキン