STFT（短時間フーリエ変換）の不満を一言で言うと、「窓のサイズを決めた時点で、時間分解能と周波数分解能のどちらを諦めるか決まってしまう」ことだ。短い窓なら瞬間をよく捉えられるが周波数がぼける。長い窓なら周波数はクリアになるが時間変化を追えない。

この制約を迂回する考え方が、Wigner-Ville 分布（WVD） だった。

窓を使わない自己相関

WVD はこう定義する。

$$W_x(t, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x\!\left(t + \frac{\tau}{2}\right) x^*\!\left(t - \frac{\tau}{2}\right) e^{-j\omega\tau}\, d\tau$$

STFT との違いは窓関数がないことだ。代わりに、時刻 $t$ を中心にして過去と未来を「対称に」取り出し、その積をフーリエ変換している。これは信号の瞬時自己相関のフーリエ変換と見なせる。

窓がないので、定義の上では時間-周波数のトレードオフがない。

線形チャープで確かめる

感覚をつかむために、線形チャープ $x(t) = e^{j(\alpha t^2 + \beta t)}$ を考える。瞬時周波数は $\omega_i(t) = 2\alpha t + \beta$ で、時間とともに一定レートで上昇する信号だ。

この WVD を計算すると

$$W_x(t, \omega) = 2\pi\,\delta\!\left(\omega - 2\alpha t - \beta\right)$$

になる。時間周波数平面上で、瞬時周波数の軌跡に完全に集中した幅ゼロの線だ。STFT なら窓の幅だけ広がるはずの線が、WVD では文字通り1点に落ちる。これが WVD の魅力の核心だと思う。

量子力学との接続

ここが面白いところだ。この式の起源を辿ると、信号処理ではなく量子物理学に行き着く。

Wigner が1932年に量子熱力学の論文で、量子系の状態を「位置-運動量平面」上の分布として書く方法として提案したのが：

$$W(x, p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int \psi(x+y)\,\psi^*(x-y)\,e^{2ipy/\hbar}\,dy$$

信号処理の式と構造が完全に同じだ。$t \to x$（位置）、$\omega \to p$（運動量）と読み替えるだけ。

1948年に Ville が「信号のための」表現として独立に発表したとき、すでに16年前に同じ式があった。

量子力学ではこれを準確率分布と呼ぶ。「準」が付く理由は、負の値を取り得るからだ。通常の確率は定義上 $\geq 0$ なので、厳密には確率ではない。Wigner 関数が負になる領域は量子コヒーレンスの指標として使われる——古典的な確率分布では記述できない重ね合わせ状態の痕跡だ。

クロスタームという代償

信号処理に戻ると、WVD も負の値を取る。原因はクロスタームだ。

信号が複数の成分 $x = x_1 + x_2$ を持つとき、

$$W_x = W_{x_1} + W_{x_2} + 2\,\mathrm{Re}\!\left\{ C_{x_1 x_2} \right\}$$

という形になる。第3項のクロスタームは、$x_1$ と $x_2$ が干渉して生じる振動項だ。$x_1$ が周波数帯域 A に、$x_2$ が帯域 B にあるとき、クロスタームはその中間に現れて、振幅は自己項と同オーダーになり得る。

なぜ中間にゴーストが出るか。WVD は「現在を中心にした過去と未来の積」を使っているので、$x_1$ の過去と $x_2$ の未来が掛け合わさることが起きる。対称な積は対称な干渉を生む。

実用では、WVD を時間-周波数の2次元平面上でスムージングした Smoothed Pseudo-WVD（SPWVD） が使われる。クロスタームは減るが、当然ながら分解能は STFT 側に近づいていく。Cohen のクラスと呼ばれる一般的な枠組みでは、STFT・WVD・Choi-Williams 分布などが「カーネルの選び方」として統一的に記述できる。

同じ制約から同じ式へ

Wigner と Ville が16年の間をおいて同じ式を独立に見つけたのは、偶然ではないと思う。「量子状態を位置-運動量の2次元分布として書きたい」と「信号を時間-周波数の2次元分布として書きたい」は、同じ制約から来ている——2つの共役な量を同時に表したいが、通常のフーリエ変換はそれを許さない、という。

クロスタームも、量子コヒーレンスも、どちらも「2つの成分を足したときに生じる非線形な残留項」だ。名前は違うが、数学的には同じ話をしているんだと思う。

— ランキン