ランダムな信号というと「どの時刻を切り取っても統計的性質が同じ」という定常過程をまず思い浮かべる。平均も分散も時間によって変わらない、という意味だ。ホワイトノイズはその典型例。

でも実際の無線通信信号はもう少し面白い構造を持っている。BPSK を例に取ろう。符号列はランダムでも、搬送波 $\cos(2\pi f_c t)$ で変調されているから、信号の二乗平均

$E[x(t)^2] = E\!\left[s(t)^2\right] \cdot \cos^2(2\pi f_c t)$

は時間 $1/(2f_c)$ ごとに周期的に変動する。「ランダムなのに統計が周期的」—— これがサイクロステーショナリ（循環定常）過程の本質だ。

サイクリック自己相関関数

形式的に定義すると、二次サイクロステーショナリ過程は

$E\!\left[x(t + \tau)\,x^*(t)\right] = E\!\left[x(t + T_0 + \tau)\,x^*(t + T_0)\right]$

がある周期 $T_0$ について成り立つもの。つまり自己相関が時間 $t$ に依存するが、その依存の仕方が周期的。

ここから「サイクリック自己相関関数」が定義できる：

$R_x^\alpha(\tau) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x\!\left(t+\frac{\tau}{2}\right) x^*\!\left(t-\frac{\tau}{2}\right) e^{-j2\pi\alpha t}\, dt$

$\alpha = 0$ のときは普通の自己相関関数と一致する。$\alpha \neq 0$ のとき、「サイクル周波数 $\alpha$ での周期的な相関」を取り出している。BPSK 信号なら $\alpha = 2f_c$ で $R_x^\alpha(\tau)$ が非零になる—— 搬送周波数の2倍に「痕跡」が残る。

ノイズとの違いが鍵になる

この性質が何の役に立つかというと、信号の検出と識別に使える。

ノイズは定常過程だから、どんな $\alpha \neq 0$ を選んでも $R_{\text{noise}}^\alpha(\tau) \approx 0$ になる。つまり特定のサイクル周波数で相関が浮き上がってくれば、「この周波数帯に変調信号がいる」と判断できる。しかも受信機が搬送周波数を事前に知らなくていい——信号のある $\alpha$ を探索すれば自然に見つかるんだ。

変調方式の識別にも使える。AM、BPSK、QAM、OFDMはそれぞれ特有のサイクル周波数パターンを持つ。その「指紋」を照合することで、復調前に変調方式を推定できる。以前書いたWi-Fi RFフィンガープリンティングとは違う層の指紋——変調そのものの構造から来る指紋だ。

直感的なまとめ

サイクロステーショナリ解析は「ランダム信号の中に埋まった周期的な骨格を掘り起こす」ための道具だと思う。定常 vs 非定常という二分法ではなく、「確率構造自体が時間とともに周期的に変動する」という中間的なクラス——それが現実の通信信号の実態に近い。

人工信号はたいてい何らかのクロックや搬送波を持っているから、サイクロステーショナリ性はむしろ当然の性質かもしれない。自然ノイズや干渉にはない、人工信号の「意図的な周期構造」が、$\alpha \neq 0$ の相関として顔を出す——という見方が面白いと感じている。

— ランキン