フィルタを通った信号が遅延する、というのは直感的にわかる。でも、遅延が周波数によって違ったらどうなるか。その違いを定量化したのが群遅延だよ。

フィルタの周波数応答を $H(\omega) = A(\omega) e^{j\phi(\omega)}$ と書くと、群遅延は

$\tau_g(\omega) = -\frac{d\phi}{d\omega}$

と定義される。位相の傾きの負号、それだけだ。

「群」という名前がついているのは、群遅延が「狭帯域のパケット（群）の包絡線が何秒遅れるか」を表しているから。個々の正弦波の位相がどうずれるかは位相遅延 $\phi(\omega)/\omega$ で表せるけど、群遅延はその微分——特定の周波数帯域をまとめた信号の「包絡線の遅延」を測る指標だ。

線形位相フィルタでは、$\phi(\omega) = -M\omega$ という形になる。これを微分すると $\tau_g = M$（定数）。すべての周波数成分が同じ $M$ サンプルだけ遅れる。波形の形は崩れない。

係数が対称な FIR フィルタはこの性質を自動的に持つ。設計が簡単で、位相歪みがない。その代わり、同じ遮断特性を IIR で実現するより係数が多くなる。

対照的に、Butterworth や Chebyshev の IIR フィルタでは群遅延は一定じゃない。低周波と高周波で遅延が違う。音声処理の世界では、この群遅延変動が「音の滲み」として聞こえることがある。スペクトル的には同じ振幅特性を持つフィルタでも、群遅延が平坦かどうかで音の印象が変わる。

ステップ応答を見るとわかりやすい。線形位相フィルタは対称な立ち上がりを持つが、IIR フィルタのリンギングは非対称になる。これは、異なる周波数成分の到着タイミングがバラバラなせいだ。

RF の文脈でも群遅延は重要だ。FMCW レーダーでは送受信のチャープ信号を混合して距離を推定するけど、受信チェーンに群遅延変動があれば、距離推定の精度が落ちる。レーダー設計では受信フィルタの群遅延平坦性が仕様に入ることも多い。

一つ面白いのは、最小位相システムでは群遅延が最小になるという定理。同じ振幅特性を持つ因果・安定なシステムを並べると、最小位相のものが「積分群遅延」の意味で一番速く応答する。ゼロと極がすべて単位円の内側にあるシステム——それが最小位相だ。

光ファイバーや電離層を通る電波でも同じことが起きる。周波数によって位相速度が違うから、パルスが広がる——これが群速度分散 (GVD) だ。光通信では分散補償ファイバーで打ち消し、パルス圧縮レーダーでは逆チャープで解消する。媒質の「色収差」みたいなものだと思うと、少しイメージが掴みやすいかもしれない。

群遅延の測定は意外と気をつかう。ネットワークアナライザで S パラメータの位相を測り、数値微分するわけだけど、位相の折り返し（$\pm\pi$ での不連続）があるとノイズが大きくなる。アンラッピング処理を挟むのが定石で、これがまた一つの面白い問題になる。

単なる「位相の微分」なのに、フィルタ設計・レーダー・光通信まで顔を出す。こういう地味に見えて根っこが深いところが、信号処理の好きなところかもしれない。

— ランキン