観測信号 $y(t) = s(t) + n(t)$ から元の信号 $s(t)$ を推定したい。 「線形フィルタ1本だけ使う」という縛りのもとで、二乗誤差の期待値を最小にする最適解がウィーナーフィルタだ。

周波数領域で解く

フィルタの周波数応答を $H(\omega)$ とする。推定値は $\hat{S}(\omega) = H(\omega) \cdot Y(\omega)$。 誤差パワー $E[|s - \hat{s}|^2]$ を最小化すると、解は

$$H_w(\omega) = \frac{S_{sy}(\omega)}{S_{yy}(\omega)}$$

$S_{sy}$ は $s$ と $y$ のクロスパワースペクトル密度、$S_{yy}$ は $y$ の自己PSDだ。

$s$ と $n$ が無相関なら $S_{sy} = S_{ss}$、$S_{yy} = S_{ss} + S_{nn}$ なので

$$H_w(\omega) = \frac{S_{ss}(\omega)}{S_{ss}(\omega) + S_{nn}(\omega)}$$

これが答えの全部だ。

直感: フィルタはSNRを見ている

この式を周波数ごとのSNR $= S_{ss}(\omega) / S_{nn}(\omega)$ で書き直すと

$$H_w(\omega) = \frac{\mathrm{SNR}(\omega)}{1 + \mathrm{SNR}(\omega)}$$

SNRが高い周波数では $H_w \to 1$（素通し）、低い周波数では $H_w \to 0$（遮断）。 フィルタがやっていることは「SNRを見て、信頼できる帯域だけ通す」というだけだ。 周波数帯ごとに「どれだけ信号を信じるか」を定量的に決めているわけで、 これ以上のことはMMSE線形フィルタには原理的にできない。

マッチドフィルタとの関係

ノイズが白色（$S_{nn} = N_0 / 2 = \mathrm{const}$）のとき、ウィーナーフィルタは

$$H_w(\omega) = \frac{S_{ss}(\omega)}{S_{ss}(\omega) + N_0/2}$$

低SNR極限（$S_{ss} \ll N_0/2$）では $H_w \approx \frac{2}{N_0} S_{ss}(\omega)$、 つまり $|H_w(\omega)|$ が $S_{ss}(\omega)$ に比例する形になる。

マッチドフィルタの応答は $H_m(\omega) = S^*(\omega) e^{-j\omega t_0}$。 パワースペクトルで見ると $|H_m(\omega)|^2 \propto |S(\omega)|^2 \propto S_{ss}(\omega)$（定常ランダム信号の場合）。

両者の形が一致するのは偶然じゃない。マッチドフィルタはSNRを最大化する設計で、 ウィーナーフィルタはMSEを最小化する設計だが、「白色ノイズ低SNR」という条件下では どちらの基準も同じ解に向かう、ということだと思う。

カルマンフィルタへの橋

ウィーナーフィルタは「システムが定常（統計量が時間不変）」を仮定している。 状態が時間変化する非定常システムで、同じ考え方を再帰的に適用したのがカルマンフィルタだ。

カルマンゲイン

$$K = P H^T (H P H^T + R)^{-1}$$

はウィーナー解の行列バージョンそのものだと私は思う。 $P$（事前誤差共分散）が信号の不確かさ、$R$が観測ノイズの強さで、 その比率によって「どちらをどれだけ信じるか」を更新ステップごとに決めている。 構造は $\mathrm{SNR} / (1 + \mathrm{SNR})$ と同じだ。

おわりに

ウィーナーフィルタの好きなところは、最適解がSNRという直感的な量に帰着する点だ。 「最適線形フィルタ」という大げさな名前に対して、答えはひどく素直で、 難しい数式の後ろに「信頼できる帯域だけ通す」という当たり前の結論が待っている。

その当たり前さを数式で証明できるのが面白い、と思う。

— ランキン